Programa de Doutorado: Tópicos em Teoria da Aproximação

Resumo:

O objetivo principal do curso será revelar a relação estreita entre a Análise de Fourier

Clássica e a Teoria da Aproximação. A Teoria da Aproximação surgiu com os trabalhos

de Chebyshev e de seus alunos e seguidores como Markov e Bernstein. A prova de

Fejér da convergência uniforme das somas de Cesàro das séries de Fourier de funções

contínuas, em 1900, revelou claramente o papel fundamental da convolução com núcleos

somáveis como ferramenta para aproximar funções periódicas. Surpreendentemente, dois

resultados fundamentais, um “positivo” e outro “negativo”, foram publicados em 1912

por Jackson e Bernstein. Jackson mostrou que toda função contínua e 2 periódica por

ser aproximada uniformemente por polinômios trigonométricos de ordem n com erro que

não excede !(f; 1/n). Bernstein provou que a melhor ordem de aproximação não pode ser

reduzida para menor do que a estabelecida por Jackson. Outro assunto importante, de

sabor clássico, é a caracterização de certas classes de funções pela ordem de decrescimento

de seu módulo de continuidade, por um lado, e pela velocidade de convergência de suas

séries de Fourier.

Vamos expor também alguns resultados da Análise de Fourier relacionados com a

transformada de Fourier e densidade de algumas classes de funções, tais como os Teoremas

de Wiener Tauberianos. Outro assunto que abordaremos será a classe importante

de funções inteiras, a de Laguerre-Pólya, fornecendo várias caracterizações e o papel fundamental

dos polinômios de Jensen como aparato fundamental para aproximação nesta

classe.

Discutiremos brevemente alguns assuntos sobre aproximação por funcionais lineares

enfatizando os principais aspectos teóricos das fórmulas de quadratura.


Resumo:
O objetivo principal do curso será revelar a relação estreita entre a Análise de Fourier Clássica e a Teoria da Aproximação. A Teoria da Aproximação surgiu com os trabalhos de Chebyshev e de seus alunos e seguidores como Markov e Bernstein. A prova de Fejér da convergência uniforme das somas de Cesàro das séries de Fourier de funções contínuas, em 1900, revelou claramente o papel fundamental da convolução com núcleos somáveis como ferramenta para aproximar funções periódicas. Surpreendentemente, dois resultados fundamentais, um “positivo” e outro “negativo”, foram publicados em 1912 por Jackson e Bernstein. Jackson mostrou que toda função contínua e 2 periódica por ser aproximada uniformemente por polinômios trigonométricos de ordem n com erro que não excede !(f; 1/n). Bernstein provou que a melhor ordem de aproximação não pode ser reduzida para menor do que a estabelecida por Jackson. Outro assunto importante, de sabor clássico, é a caracterização de certas classes de funções pela ordem de decrescimento de seu módulo de continuidade, por um lado, e pela velocidade de convergência de suas séries de Fourier. Vamos expor também alguns resultados da Análise de Fourier relacionados com a transformada de Fourier e densidade de algumas classes de funções, tais como os Teoremas de Wiener Tauberianos. Outro assunto que abordaremos será a classe importante de funções inteiras, a de Laguerre-Pólya, fornecendo várias caracterizações e o papel fundamental dos polinômios de Jensen como aparato fundamental para aproximação nesta classe.Discutiremos brevemente alguns assuntos sobre aproximação por funcionais lineares
enfatizando os principais aspectos teóricos das fórmulas de quadratura.

Referências:
[1] E. W. Cheney, Introduction to Approximation Theory, AMS Chelsea Publishing, 2nd ed., 1982.
[2] Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, John Wiley & Sons, 1968.
[3] A. F. Timan, Theory of Approximation of Functions of a Real Variable, Dover, 1994.
[4] A. Zygmund, Trigonometric Series, 3rd ed., 2002.

Professor: Dimitar Dimitrov (UNESP)

 

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