Programa de Mestrado 2014: Análise em Variedades

Pré-requisito: Análise no Rn

Variedades diferenciáveis, variedades com bordo, variedades orientáveis. Partição da unidade. Aplicação: Teorema do mergulho de Whitney para variedades compactas. Fibrado tangente, cotangente. Aplicações diferenciáveis, valores regulares. Formas alternadas, formas diferenciais, diferencial exterior. Integrais de superfícies. Teorema de Stokes. Cohomologia de De Rham. Sequência de Mayer-Vietoris. Invariância por Homotopia. Campos de vetores como seções e como derivações. Tensores. Aplicações.


Referências:
SPIVAK, M. - A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1. Publish or Perish, Incorporated, 1975. 
SPIVAK, M. - Calculus on Manifolds. New York. Benjamin, 1965. 
TU, L. W. - An introduction to manifolds. Universitext. Springer, New York, 2008.

Professor: Luis Adrian Florit

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Notas de Aula - download

Aula 01: Espaço topológico, variedade topológica e variedade diferenciável. Exemplos.
05/08/2014 - download

Aula 2: Funções diferenciáveis entre variedades. Difeomorfismo e difeomorfismo local. Grupos de Lie. Topologia quociente. Exemplos.
07/08/2014 - download

Aula 3: Ações propriamente descontinuas. Espaço tangente, e diferencial.
12/08/2014 - download

Aula 04: Teorema da função inversa. Imersões e submersões. Expressão local da diferencial. Subvariedade regular.
14/08/2014 - download

Aula 5: Subvariedades como pré-imagens de valores regulares. Funções de posto constante. Grupos de Lie de matrizes. Funções diferenciáveis desde e para subvariedades. Subvariedades imersas e mergulhadas.
19/08/2014 - download

Aula 6: Fibrado tangente. Campos de vetores. Colchete.
21/08/2014 -
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Aula 7: Colchete e campos f-relacionados. Teorema Fundamental das EDO. Campos ao longo de funções.
26/08/2014 - download

Aula 8: Fibrados vetoriais. Mapas entre fibrados. Construções lineares. 
28/08/2014 - download

Aula 9: Fibrados. Partições da unidade.
02/09/2014 - download

Aula 10: Teorema de Whitney. Existência de métricas Riemannianas. Orientação.
04/09/2014 - download

Aula 11: Orientação. 1-formas diferenciais. Pull-back. Álgebra multilinear.
09/09/2014 - download

Aula 12: Álgebra multilinear. Tensores e campos tensoriais. Formas diferenciais. O pull-back como morfismo de álgebras graduadas.
11/09/2014 - download

Aulas 13: Orientação e elementos de volume. Derivada exterior.
16/09/2014 - download

Aula 14: Variedades com bordo. Funções diferenciais sobre Variedades com bordo. Campos exteriores e orientação do bordo.
18/09/2014 - download

Aula 15: Integração em variedades.
23/09/2014 - download

Aula 16: Teorema de Stokes. Operador de bordo para k-cadeias.
25/09/2014 - download

Aula 17: Teorema de Stokes via integração de k-cadeias. Revisão geral.
30/09/2014 - download

Aula 18: Cohomologia de de Rham. Produto e pull-back em cohomologia.
07/10/2014 - download

Aula 19: Invariância por homotopia. Retrações. Teorema do ponto fixo de Brouwer. Equivalência homotópica.
09/10/2014 - download

Aula 20: Integração em cohomologia com suporte compacto: isomorfismo.
21/10/2014 - download

Aula 21: Cohomologia de grau máximo para variedades não compactas ou não orientáveis. Teoria de grau.
23/10/2014 - download

Aula 22: Álgebra homológica: complexos de (co-)cadeias, sequências exatas, e homomorfismo de conexão.
28/10/2014 - download

Aula 23: Sequência de Mayer-Vietoris. Exemplos. Característica de Euler. Sólidos pitagóricos.
30/10/2014 - download

Aula 24: Sequência de Mayer-Vietoris para suporte compacto. Vizinhanças tubulares. Sequência exata de pares. Cohomologia de variedades com bordo.
04/11/2014 - download

Aula 25: Winding number para hipersuperfícies imersas. Teorema de Jordan generalizado. Sequência de Mayer-Vietoris para homologia singular.
06/11/2014 - download

Aula 26 - 11/11/2014 - download
Aula 27 - 13/11/2014 - download


Aula 1: Espaço topológico, variedade topológica e variedade diferenciável. Exemplos.

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