Programa de Mestrado 2011: Equações Diferenciais Parciais

Pré-requisitos: Análise no Rn, Medida e Integração

A equação geral de primeira ordem para uma função de duas variáveis e o problema de Cauchy associado.  Sugestões de tópicos adicionais: Introdução ao problema de Cauchy para equações de evoluções não lineares.  Classificação de equação  de segunda ordem em duas variáveis independentes. Problemas com condições de contorno e/ou condições iniciais. Problemas bem-postos. Exemplos. O método de separação de variáveis e o problema de condução de  calor em uma barra finita. Séries de Fourier em senos e co-senos e na forma complexa. Convergência pontual. Relações entre a diferenciabilidade e a transformada de Fourier. Convergência uniforme. Aplicações aos problemas de condução de calor em uma barra, da corda vibrante finita e de Dirichlet no retângulo. Aproximação por convolução e aplicações (teorema de Fejer e o problema de Dirichlet no disco unitário). Distribuições periódicas. O espaço L2[- π,π ], como subespaço das distribuições periódicas. Noções de espaços de Hilbert. Aplicações às equações de calor, onda, Poisson e Schröndinger. Equações lineares e quase-lineares de primeira ordem. Método das características. O problema de Cauchy para a equação quase-linear. A equação de Korteweg-de Vries nos espaços de Sobolev do círculo. Separação de variáveis e o problema de valor inicial para a equação de calor na reta. A transformada de Fourier em R. A fórmula de inversão. O espaço de Schwartz e a transformada de Fourier. Distribuições temperadas. Os espaços L2(R). Aplicações às equações de calor, onda, Poisson e Schrödinger.

Referências:
EVANS, L. C. - Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, 19, AMS, 1998.
FIGUEIREDO, D.G. - Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais.  Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1977.
GUSTAFSON, K. - Introduction to Partial Differential Equations and Hilbert space methods, New York, Wiley, 1980.
IÓRIO JR., R., IÓRIO, V. - Equações Diferenciais Parciais, uma introdução. Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1988.
JOHN, F. - Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Third edition, 1978.
SOBOLEV, S. L. - Partial Differential Equations of Mathematical Physics. Reading Mass., Addison-Wesley, 1964.

 

Vídeos

Equações Diferenciais Parciais

Emanuel Carneiro

Aula 01 - Introdução - 08.08.2011 - download
Aula 02 - Interpolação de Riesz-Thorin - 10.08.2011 - download
Aula 03 - Convolução e aproximações da identidade - 12.08.2011 - download
Aula 04 - A transformada de Fourier - 22.08.2011 - download
Aula 05 - Equação de Laplace: solução fundamental - 24.08.2011 - download
Aula 06 - Propriedade da média e princípio do máximo - 29.08.2011 - download
Aula 07 - Regularidade de funções harmônicas - 31.08.2011 - download
Aula 08 - Funções de Green - 02.09.2011 - download
Aula 09 - Método de Perron - 05.09.2011 - download
Aula 10 - Métodos de energia para a equação de Laplace / Equação do calor:  solução fundamental. - 09.09.2011 - download
Aula 11 - Equação do calor: princípio do máximo e regularidade - 12.09.2011 - download
Aula 12 - Equação do calor: métodos de energia e exemplo de solução com crescimento rápido - 14.09.2011 - download
Aula 13 - Equação do transporte e equação da onda em dimensão n=1 - 16.09.2011 - download
Aula 14 - Equação da onda em dimensões maiores - 19.09.2011 - download
Aula 15 - Equação da onda não-homogênea, métodos de energia e transformada de Fourier - 21.09.2011 - download
Aula 16 - Equação de Schrodinger - 23.09.2011 - download
Aula 17 - Método das características I - Introdução - 10.10.2011 - download
Aula 18 - Método das características II - Condição não-característica - 17.10.2011 - download
Aula 19 - Método das características III - Existência local - 19.10.2011 - download
Aula 20 - Equações de Hamilton-Jacobi I - Funções convexas duais - 24.10.2011 - download
Aula 21 - Equações de Hamilton-Jacobi II - Fórmula de Hopf-Lax - 26.10.2011 - download
Aula 22 - Introdução às leis de conservação I - Condição de Rankine-Hugoniot- 04.11.2011 - download
Aula 23 - Introdução às leis de conservação II - Fórmula de Lax-Oleinik- 07.11.2011 - download
Aula 24 - Séries de Fourier I - Teoria L^p e convergência pontual - 21.11.2011 - download
Aula 25 - Séries de Fourier II - Aproximações da identidade e soma de Poisson- 23.11.2011 - download

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