Programa de Doutorado 2015: Geometria Riemanniana

ProfessorLuis Adrian Florit


Pré-requisitos: Análise no Rn, teorema fundamental das EDO, algum conhecimento de Geometria Diferencial, EDP e espaços de recobrimento.

Métricas riemannianas. Conexão de Levi-Civitta. Geodésicas. Vizinhanças normais e totalmente normais. Tensor de Curvatura. Derivação covariante de tensores. Campos de Jacobi e pontos conjugados. Imersões isométricas; equações de Gauss , Ricci e Codazzi. Variedades riemannianas completas; Teorema de Hopf-Rinov, teorema de Hadamard. Espaços de curvatura constante. Variações do comprimento de arco; aplicações. Teorema de comparação de Rauch; teorema de Bonnet-Myers, teorema de Synge e outras aplicações. O teorema do índice de Morse. O lugar dos pontos mínimos. Outros tópicos.

Referências:
CARMO, M. - Geometria Riemanniana, Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1979.
CHEEGER, J., EBIN, D. - Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Amsterdam, North-Holland, 1975.
JOST, J. - Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin Heildelberg, New York, Springer Verlag, 1995.
O’NEILL, B. - Semi-Riemannian Geometry with applications to Relativity, New York, Academic Press, 1983.
PETERSEN, P. - Riemannian Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2006.

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Notas de aula: Link

Aula 01 - Revisão de conceitos básicos de variedades, tensores e fibrados vetoriais, e notações.
[10/03/2015] - download

Aula 02 - Revisão de conceitos básicos de ações de grupos e grupos de Lie. Definição de métrica e variedade Riemanniana. Isometrias e métricas induzidas.
[12/03/2015] - download

Aula 03 -  Métricas invariantes em grupo de Lie.Métrica produto. Bases locais ortonormais de campos e forma de volume. Métricas Riemannianas em fibrados Vetoriais. Métricas Semi-Riemannianas.
[17/03/2015] - download

Aula 04 -  Forma de volume em coordenadas. Distância Riemanniana. Conexões afins. Conexões ao longo de aplicações 
[19/03/2015] - download

Aula 05 -  Conexões ao longo de aplicações e ao longo de curvas. Campos paralelos ao longo de curvas e transporte paralelo. A conexão de Levi-Civita
[24/03/2015] - download

Aula 06 -  Derivação covariante de tensores. Lema de simetría. Conexão de Levi-Civita de subvariedades. Geodésicas como soluções de um problema variacional
[26/03/2015] - download

Aula 07 -  Geodésicas: propriedades básicas, existência e unicidade. Fluxo geodésico e função exponencial
[31/03/2015] - download

Aula 08 - Vizinhanças normais e coordenadas polares. Lema de Gauss e propriedade minimizante local das geodésicas
[07/04/2015] - download

Aula 09 - Vizinhanças totalmente normais e totalmente convexas
[09/04/2015] - download

Aula 10 - Curvatura
[14/04/2015] - download

Aula 11 - Campos de Jacobi e pontos conjugados
[16/04/2015] - download

Aula 12 - Imersões isométricas
[22/04/2015] - download

Aula 13 - Segunda forma fundamental de esferas geodésicas e a equação
de Riccati. Teorema de Hopf-Rinow
[28/04/2015] - download

Aula 14 - Teorema de Hadamard. Variedades sem pontos conjugados
[05/05/2015] - download

Aula 15 - Variedades Riemannianas de curvatura seccional constante
[07/05/2015] - download

Aula 16 - Variedades de curvatura constante. Variações da Energia: fórmula da primeira variação
[12/05/2015] - download

Aula 17 - Variações da Energia: fórmula da segunda variação. Teorema de Bonnet-Myers
[14/05/2015] - download

Aula 18 - Teorema de Synge-Weinstein.
Variedades compactas com curvatura seccional não-negativa vs curvatura seccional positiva.
Lema do índice
[19/05/2015] - download

Aula 19 - Teorema de Rauch. Aplicação: Teorema de Moore
[21/05/2015] - download

Aula 20 - Comparando geometrias. O Teorema de comparação de volume de Bishop-Gromov local
[26/05/2015] - download

Aula 21 - Pontos focais. Lema do Índice e Teorema de Rauch para geodésicas livres de pontos focais. Teorema de Toponogov
[28/05/2015] - download

Aula 22 - Comentários gerais sobre espaços de Alexandrov. Teorema do Índice de Morse
[02/06/2015] -

Aula 23 - O cut locus. Teorema de Bishop-Gromov global. Teorema de Cheng.
[09/06/2015] -
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Aula 24 - Prova do Teorema de Toponogov. Teorema de Gromov
[11/06/2015] - download

Aula 25 - Teorema de Preissman
[16/06/2015] -

Aula 26 - Sobre fluxos geométricos e o teorema da esfera diferenciável
[18/06/2015] -
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Aula 27 - Funções de Busemann e o teorema de splitting de Cheeger-Gromoll
[23/06/2015] -

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