Programa de Doutorado 2015: Análise Harmônica

ProfessorEmanuel Carneiro

Pré-requisito: Teoria Espectral

Transformada de Fourier:  Teoria básica L1 da transformada de Fourier; a teoria L2 e o teorema de Plancherel; a classe de distribuições temperadas.  Noções fundamentais da teoria de variáveis reais: a função maximal; comportamento próximo à pontos gerais de conjuntos mensuráveis; decomposição em cubos de conjuntos abertos em Rn; um teorema de interpolação para Lp; Interpolação de operadores: o teorema de convexidade de M. Riesz e interpolação de operadores em espaços Lp; o teorema de interpolação de Marcinkiewicz; espaços L(p,q); interpolação de famílias analíticas de operadores.  Integrais singulares: a transformada de Hilbert; operadores integrais singulares com núcleo ímpar; operadores integrais singulares com núcleo par; operadores integrais singulares que comutam com dilatações; análogos à valores vetoriais.  Transformadas de Riesz: integrais de Poisson. Esféricos harmônicos: as transformadas de Riesz; integrais de Poisson e aproximações da identidade; transformadas de Riesz  de ordens mais altas e esféricos harmônicos.  Séries de Fourier múltiplas: propriedades elementares; a fórmula da somação de Poisson; transformações multiplicadoras. A teoria de Littlewood-Paley e multiplicadores: a função g de Littlewood-Paley; a função g (lâmbida); multiplicadores; aplicação dos operadores de somas parciais; a decomposição diádica; o teorema de multiplicador de Marcinkiewicz.  Espaços de Hardy: caracterização maximal de Hp; decomposição atômica de Hp; integrais singulares. Hp e BMO: o espaço de funções de oscilação média limitada; a função "sharp"; uma abordagem elementar e uma versão diádica; outras propriedades de BMO; um teorema de interpolação.

Referências:
DUOANDIKOETXEA, J.  - Fourier Analysis. Graduate Studies in Mathematics, 29, AMS, Providence, RI 2001.
STEIN, E. - Harmonic Analysis", Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1993.
STEIN, E. - Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970.
STEIN, E., WEISS, G. - Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1971.

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Listas e provas do curso: Link

Aula 01 - Operador maximal de Hardy-Littlewood e diferenciação de Lebesgue - 10-03-2015 - download
Aula 02 - Operador de convolução e desigualdade de Young - 13-03-2015 - download
Aula 03 - Aproximações da identidade - 17-03-2015 - download
Aula 04 - Transformada de Fourier I - 20-03-2015 - download
Aula 05 - Transformada de Fourier II - 24-03-2015 - download
Aula 06 - Classe de Schwartz e distribuições temperadas - 26-03-2015 - download
Aula 07 - Séries de Fourier I - 27-03-2015 - download
Aula 08 - Séries de Fourier II - 31-03-2015 - download
Aula 09 - Interpolação de Riesz-Thorin - 02-04-2015 - download
Aula 10 - Interpolação de Marcinkiewicz - 07-04-2015 - download
Aula 11 - Teorema de Paley-Wiener - 09-04-2015 - download
Aula 12 - Teorema de Plancherel-Pólya - 10-04-2015 - download
Aula 13 - Fórmula de interpolação de Shannon e Teorema de Bernstein - 16-04-2015 - download
Aula 14 - Teorema de Bernstein II - 17-04-2015 - download
Aula 15 - Decomposição em Cubos - 22-04-2015 - download
Aula 16 - Transformada de Hilbert - 24-04-2015 - download
Aula 17 - Teoria de Calderón-Zygmund I - 28-04-2015 - download
Aula 18 - Teoria de Calderón-Zygmund II - 30-04-2015 - download
Aula 19 - Teoria de Calderón-Zygmund III - 05-05-2015 - download
Aula 20 - Teoria de Calderón-Zygmund IV - 07-05-2015 - download
Aula 21 - Transformadas de Riesz e a estimativa $W^{2,p}$ para o Laplaciano - 12-05-2015 - download
Aula 22 - Esféricos harmônicos - 14-05-2015 - download
Aula 23 - A identidade de Hecke-Bochner - 19-05-2015 - download
Aula 24 - Integração fracionária - 21-05-2015 - download
Aula 25 - Espaços de Sobolev - 22-05-2015 - download
Aula 26 - Mergulho de Sobolev - 26-05-2015 - download
Aula 27 - Regularidade de operadores maximais - 28-05-2015 - download
Aula 28 - Restrição da transformada de Fourier - 29-05-2015 - download
Aula 29: Multiplicador da bola: Teorema de Fefferman I - 02-06-2015 - download
Aula 30: Multiplicador da bola: Teorema de Fefferman II - 03-06-2015 - download

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